Persamaan Gelombang Elektromagnetik Medan Magnet dan Medan Listrik

Nama        : Sri Mulyani

NIM          : 190203016

Prodi         : Fisika

Matkul      : Fisika Klasik II Magnet

                    " Persamaan Gelombang Elektromagnetik Medan Magnet dan Medan Listrik" 

 

Buktikan  serta selesaikan bentuk persamaan gelombang medan magnet dengan cara yang sama untuk medan listrik sebagai berikut:

`\frac{\partial^2B}{\partial x^2}-\frac1{C^2}\frac{\partial^2B}{\partial t^2}=0`

Bentuk persamaan gelombang dengan solusi

`B(x,t)=B_x\left(x\right)B_t\left(t\right)=B_0e^{i\left(wt-kx\right)}`

Serta buktikan:

`B_0=\frac{E_0}C`

Penyelesaian:

 1. Persamaan Gelombang Elektromagnetik Untuk Medan Magnet

    Kita lihat dari persamaan Maxwell 4:

    `\nabla\times B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}`

    Selanjutnya kita lakukan Operasi Curl:

    `\nabla\times\nabla\times B=\nabla\times\left(\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right)`

    `\nabla\times\nabla\times B=\mu_0\varepsilon_0\frac\partial{\partial t}(\nabla\times E)`

 

    Diketahui bahwa untuk nilai dari `\nabla\times\nabla\times B`  menggunakan Identitas Vektor sbb:

    `\nabla\times\nabla\times B=\nabla(\nabla\cdot B)-\nabla^2B`

    `\nabla\times E` adalah persamaan Maxwell 3:

    `\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}`

    

    Substitusikan:

    `\nabla\times\nabla\times B=\mu_0\varepsilon_0\frac\partial{\partial t}(\nabla\times E)`

    Menjadi:

    `\nabla\left(\nabla\cdot B\right)=\mu_0\varepsilon_0\frac\partial{\partial t}(-\frac{\partial B}{\partial t})`

 

    Dengan  `\nabla\cdot B`  adalah persamaan Maxwell 2 yaitu:

     `\nabla\cdot B=0`

 

    jadi:

    `0-\nabla^2B=-\mu_0\varepsilon_0\left(\frac{\partial^2B}{\partial t^2}\right)`

    Hilangkan negatif:

    `\nabla^2B=\mu_0\varepsilon_0\left(\frac{\partial^2B}{\partial t^2}\right)`

    Pindah ruaskan:

    `\nabla^2B-\mu_0\varepsilon_0\left(\frac{\partial^2B}{\partial t^2}\right)=0`

    Dapat ditulis dalam bentuk sbb:

    `\nabla^2B-\frac1{\frac1{\mu_0\varepsilon_0}}\left(\frac{\partial^2B}{\partial t^2}\right)=0`

    Untuk `\frac1{\mu_0\varepsilon_0}=C^2`  atau `C=\sqrt{\frac1{\mu_0\varepsilon_0}}=2.998\times10^8`  atau `3\times10^8ms^{-1}`

    Bisa kita tulis:

    `\nabla^2B-\frac1{C^2}\left(\frac{\partial^2B}{\partial t^2}\right)=0`

    Untuk 1 dimensi:

    `\nabla^2B=\left(\frac{\partial^2B}{\partial x^2}\right)`

    Sehingga hasil akhirnya:

    `\frac{\partial^2B}{\partial x^2}-\frac1{C^2}\left(\frac{\partial^2B}{\partial t^2}\right)=0`

2. Persamaan Gelombang Elektromagnetik Untuk Medan Listrik

    Kita lihat dari persamaan Maxwll 3:

    `\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}`

     Selanjutnya kita lakukan Operasi Curl:

    `\nabla\times\nabla\times E=\nabla\times\left(-\frac{\partial B}{\partial t}\right)`

    `\nabla\times\nabla\times E=-\frac\partial{\partial t}\left(\nabla\times B\right)`

 

      Diketahui bahwa untuk nilai dari `\nabla\times\nabla\times E`  menggunakan Identitas Vektor sbb:

    `\nabla\times\nabla\times E=\nabla(\nabla\cdot E)-\nabla^2E`

    `\nabla\times B` adalah persamaan Maxwell 4:

    `\nabla\times B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}`

 

    Substitusikan:

    `\nabla\times\nabla\times E=-\frac\partial{\partial t}(\nabla\cdot B)`

    Menjadi:

    `\nabla\left(\nabla\cdot E\right)-\nabla^2E=-\frac\partial{\partial t}(\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})`

    Dengan  `\nabla\cdot E`  adalah persamaan Maxwell 1 yaitu:

     `\nabla\cdot E=\frac{\partial\rho}{\partial t}`,  karena diruangan yang tidak ada muatan listrik maka  `\nabla\cdot E=0`

 

     jadi:

    `0-\nabla^2E=-\mu_0\varepsilon_0\left(\frac{\partial^2E}{\partial t^2}\right)`

    Hilangkan negatif:

    `\nabla^2E=\mu_0\varepsilon_0\left(\frac{\partial^2E}{\partial t^2}\right)`

    Pindah ruaskan:

    `\nabla^2E-\mu_0\varepsilon_0\left(\frac{\partial^2E}{\partial t^2}\right)=0`

    Dapat ditulis dalam bentuk sbb:

    `\nabla^2E-\frac1{\frac1{\mu_0\varepsilon_0}}\left(\frac{\partial^2E}{\partial t^2}\right)=0`

    Untuk `\frac1{\mu_0\varepsilon_0}=C^2`  atau `C=\sqrt{\frac1{\mu_0\varepsilon_0}}=2.998\times10^8`  atau `3\times10^8ms^{-1}`

 

    Bisa kita tulis:

    `\nabla^2E-\frac1{C^2}\left(\frac{\partial^2E}{\partial t^2}\right)=0`

    Untuk 1 dimensi:

    `\nabla^2E=\left(\frac{\partial^2E}{\partial x^2}\right)`

    Sehingga hasil akhirnya:

    `\frac{\partial^2E}{\partial x^2}-\frac1{C^2}\left(\frac{\partial^2E}{\partial t^2}\right)=0`

 

 

 3. Buktikan persamaan `B_0=\frac{E_0}C`

    Penyelesaian:

    Maxwell menyatakan bahwa "Gangguan pada gelombang elektromagnetik berupa medan listrik dan medan magnet         yang selalu tegak lurus, dan keduanya tegak lurus terhadap arah rambat gelombang"

    Maxwell menemukan rumus cepat rambat cahaya:

    `V=C=\sqrt{\frac1{\mu_0\varepsilon_0}}`  dimana c : cepat rambat gelombang

 

    Berdasarkan persamaan Maxwell solusi terbaik dari gelombang bidang elektromagnetik adalah suatu gelombang e dan     b berubah terhadap x dan t sesuai dengan persamaan:

    `E=E_m\cos\left(kx-\omega t\right)`

    `B=B_m\cos\left(kx-\omega t\right)` 

   `E_mdanB_m` merupakan nilai maksimum kuat amplitudo medan istrik dan medan magnet

    `k=2\pi/\wedge`

    `\omega=2\pi f`

    Maka nilai perbandingan antara `\omega/k`  sama dengan cepat rambat C, karena

    `\omega/k=\frac{2\pi f}{2\pi/\wedge}`

    `\omega/k\wedge f=C`

    Besarnya kecepatan GEM adalah perbandingan besar medan listrik dan medan magnet

    `v=C\=\frac{\|E|}{\|B|}`  diruang hampa

    Karena `\omega/k`  maka  `B_m/E_m=E/B=C`  atau  `B_0=\frac{E_0}C`

    Jadi, pada setiap saat nilai perbandingan antara amplitudo kuat medan listrik dan amplitudo kuat medan magnetik dari     suatu gelombang elektromagnetik sama dengan cepat gelombang cahaya.

Credit:

1. Youtube: https://youtu.be/tHEQrPe-f7M