Penyelesaian Soal Kuis#1 (PDB)

 Perbaikan Kuis:

Mata Kuliah : Fisika Klasik II (Magnet)

Nama : Sri Mulyani

NIM : 190203016

Prodi : Fisika

Soal Utama:

Persamaan gerak proyektil dalam pengaruh gaya gesek udara yang sebanding dengan lajunya adalah

                                                        `F_y=-mg-kv_y`

                                                            `F_x=-kv_x` 

Proyektil ditembahkan pada sudut elevasi `37^\circ` dan kecepatan awal 100 m/s,serta m=100 mg dan k=0.2 kg/s. Asumsikan laju tiap komponen (sin 37 = 0.6 ; g = 10 m/`s^2`)

Soal Anakan:

1. [True or False] Bentuk persamaan diferensialnya adalah berorde 2 dalam fungsi kecepatan

    a. True

    b. False

    c. Tidak keduanya

    Jawaban:

        Kita ketahui bahwa ini merupakan fenomena Gerak Parabola, Gerak Parabola merupakan gerakan      benda yang lintasannya berbentuk parabola,dengan memanfaatkan persamaan kecepatan, dimana          kecepatan merupakan Turunan Pertama dari Posisi terhadap Waktu:

                                    `v=\frac{dr}{dt}`

     Jadi, pernyataan diatas False karena orde kedua merupakan Fungsi Percepatan

                         

2. Bentuk persamaan diferensial komponen vertikalnya adalah

    a. `\overset\cdot v_y+0.002v_y=10`

    b. `\overset\cdot v_y-0.002v_y=-100`

    c. `\overset\cdot v_y+20v_y=100`

    d. `\overset\cdot v_y-20v_y=-10`

    e.  `\overset.v_y+2v_y=-10`

    Penyelesaian:

        Dik: Komponen gaya vertikal   `F_y=-mg-kv_y`

        Untuk mencari laju kita ubah menjadi 

            `\overset.v_y=-mg-kv_y`

            `\overset.v_y=-100mg.10ms^{-1}-0.2kgs^{-1}v_y`

            `\overset.v_y=-100mg.10ms^{-1}-200mgs^{-1}v_y`

            `\overset.v_y=-1000s^{-1}-200v_y`

        Pindah ruaskan

            `\overset.v_y+200v_y=-1000s^{-1}`

        Kita sederhanakan dengan di bagi 100

            `\overset.v_y+2v_y=-10s^{-1}`

        Jadi, persamaan differensial untuk komponen vertikalnya adalah  `\overset.v_y+2v_y=-10`

3. Solusi persamaan diferensial untuk komponen laju horizontal `v_x` adalah

    a. `v_x\left(t\right)=10e^{2t}+5`

    b. `v_x\left(t\right)=10e^{-2t}`

    c. `v_x\left(t\right)=80e^{2t}+5`

    d. `v_x\left(t\right)=80e^{-2t}`

    Penyelesaian:

        `m\frac{dv_x}{dt}=-kv_x`

        `\frac{dv_x}{dt}=-\left(\frac km\right)v_x`

        `\frac{dv_x}{v_x}=-\left(\frac km\right)dt`

    Integralkan:

        `\int_{v_{0x}}^{v_x}\frac{dv_x}{v_x}=\int_0^t-\left(\frac km\right)dt`

        `\left(\ln\v_x-\ln\v_{0x}\right)=-\left(\frac km\right)t`

        `\ln\frac{v_x}{v_{0x}}=-\left(\frac km\right)t`

        `v_x\left(t\right)=v_0e^{\left(-\frac km\right)t}`

    Subtitusikan: Kita cari nilai `v_{0x}` dahulu: `\cos\37^\circ=0.8` 

            `v_{0x}=v_0\cos\37^\circ`

                       `=100\times0.8`

                        `=80m/s`

        Diperoleh:

            `v_x\left(t\right)=v_{0x}e^{\left(-\frac km\right)t}`

            `v_x\left(t\right)=80e^{-2t}`

        Jadi, solusi persamaan differensial untuk komponen laju horizontal adalah `v_x\left(t\right)=80e^{-2t}`

 

4. Solusi persamaan diferensial komponen laju vertikal `v_y\left(t\right)` adalah

    a. `v_y\left(t\right)=-5+65e^{-2t}`

    b. `v_y\left(t\right)=5-65e^{-2t}`

    c. `v_y\left(t\right)=-10+65e^{2t}`

    d. `v_y\left(t\right)=5-65e^{2t}`

    Penyelesaian:

        `m\frac{dv_y}{dt}=-mg-kv_y`

        `\frac{dv_y}{dt}=-\left(g+\left(\frac km\right)v_y\right)`

        `\frac{dv_y}{\left(g+\left(\frac km\right)v_y\right)}=dt`

    Integralkan: 

        `u=g+\left(\frac km\right)v_y`

        `du=\left(\frac km\right)dv_y`  atau  `dv_y=\frac mkdu`

    Sehingga:

       *  Ruas kiri

            `\int_{v_{0y}}^{v_y}\frac{dv_y}{\left(g+\left(\frac km\right)v_y\right)}=\frac mk\int_{u_0}^ud\frac uu`

            `\frac mk\left(\ln u-\ln u_0\right)=\frac mk\ln\left(\frac u{u_0}\right)`

        * Ruas kanan

            `\int_0^t-dt=-t`

            Jadi  `\frac mk\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)=-t`

                    `\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)=-\frac kmt`

                    `\left(g+\frac kmv_y\right)=\left(g+\frac kmv_{0y}\right)e^{-\frac kmt}`

                    `v_y\left(t\right)=-\frac{mg}k+\left(\frac{mg}k+v_{0y}\right)e^{-\frac kmt}`

    Dari soal diketahui:

      *   `\frac km=\frac{-0.2\frac{kg}s}{100mg}`

           `\frac km=\frac{200mgs^{-1}}{100mg}=2s^{-1}`

      *   `\frac{mg}k=\frac{100mg.10ms^{-1}}{0.2kgs^{-1}}`

           `\frac{mg}k=\frac{100mg.10ms^{-2}}{200mgs^{-1}}`

           `\frac{mg}k=2s^{-1}`

      *   `v_{0y}=v_0\sin\left(37^\circ\right)`

           `v_{0y}=100ms^{-1}.0.6`

           `v_{0y}=60ms^{-1}`

     Masukkan nilai `v_y\left(t\right)`:

        `v_y\left(t\right)=\frac{-mg}k+\left(\frac{mg}kv_{0y}\right)e^{-\frac kmt}`

        `v_y\left(t\right)=-5+\left(5+60\right)e^{-2t}`

        `v_y\left(t\right)=-5+\left(65\right)e^{-2t}`

    Jadi, laju komponen vertikalnya adalah  `v_y\left(t\right)=-5+\left(65\right)e^{-2t}` 

5. [True or False] sudut dengan jangkauan maksimumnya adalah `45^\circ`

    a. True

    b. False

    c. Tidak keduanya

    Penyelesaian:

    Cara menentukan jarak terjauh serta pasangan sudut elevasi dalam gerak parabola:

    Rumus menentukan jarak terjauh pada sumbu x:

            `x=v_0^2\sin\2\frac\alpha g`

    Nilai x maksimum akan didapat jika sin `2\alpha`=1 (nilai sin tertinggi =1)

            `\sin2\alpha=1`

            `\sin2\alpha=\sin90`

            `2\alpha=90`

            `\alpha=\frac{90}2`

            `\alpha=45^\circ`

    Jadi untuk mencapai jarak maksimum pada sumbu x maka benda harus digerakkan dengan sudut            elevasi sebesar  `45^\circ`

 

 Tag: #fisikaklasik2 #persamaandifferensial #fisikaumri #umri