PDB ORDE 1 DAN PDB ORDE 2
Jenis Tugas : Small Group
Mata Kuliah : Fisika Klasik Magnet
Nama : Sri Mulyani
NIM : 190203016
Prodi : Fisika
Bagian I : (5 soal cari sendiri; 2 soal PDB orde I; 3 soal PDB orde II)
A. PDB ORDE 1
1. `xyy'+x^2+1=0`
Penyelesaian:
* Ubah ke dalam eksplisit
`xy\frac{dy}{dx}+x^2+1=0`
* Bagi tiap-tiap ruas
`ydy=-\left(\frac{x^2+1}x\right)dx`
* Integralkan
`\int ydy=-\int\left(\frac{x^2+1}x\right)dx`
`\frac{y^2}2+C=-\int\left(X+\frac1x\right)dx`
`\frac{y^2}2+C=-\left(\frac{x^2}2+ln\left(x\right)\right)+C`
`y^2=-x^2-2\ln\left(x\right)+c`
`y=\sqrt{-x^2-2\ln\left(x\right)+c}`
* Maka solusi umumnya adalah :
`y=\sqrt{-x^2-2\ln\left(x\right)+c}`
2. Carilah penyelesaian umum PD:
`xy'+\left(1-x\right)y=4xe^x\ln\left(x\right)`
Jawab:
* Tulis PD menjadi,
`y'+\frac{1-x}xy=4e^x\ln\left(x\right)`
* Faktor integrasi
`\int p\left(x\right)dx=\int\frac{1-x}xdx=\ln\left(x\right)-x`
`u=e^{\ln\left(x\right)-x}=e^{\ln\left(x\right)}e^{-x}=xe^{-x}`
* Solusi
`yxe^{-x}=\int\left(4e^x\ln x\right)\left(xe^{-x}\right)dx`
`=\int4x\ln xdx`
`yxe^{-x}=2x^2\ln x-x^2+c`
B. PDB ORDE 2
1. Carilah penyelesaian persamaan diferensial berikut ini.
`\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=0`
Jawab:
Jika `\frac{d^2y}{dx^2}=m^2,\frac{dy}{dx}=m` dan `y=1`, maka
Persamaan karakteristiknya:
`1\m^2+\3\m\+\2=\0`
`\left(m+1\right)\left(m+2\right)=0`
Sehingga : `m=-1;m=-2.\left(m1\ne m2\right)`
Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah :
`Y=A.e^{-x}+B.e^{-2x}`
2. Carilah penyelesaian PD berikut
`\frac{d^2y}{dx^2}+6\frac{dy}{dx}+9y=0`
Jawab:
`m^2+6m+9=0`
`\left(m+3\right)\left(m+3\right)=0\Rightarrow m=-3` akar kembar sehingga
`Y=e^{-3x}\left(A+Bx\right)`
3. Carilah penyelesaian PD berikut
`\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+9y=0`
Jawab:
`m^2+4m+9=0`
Dengan menggunakan rumus ABC di dapat:
`m=\frac{-4\pm\sqrt{16-36}}2\Leftrightarrow m=\frac{-4\pm\sqrt{20}}2`
`m=\frac{-4\pm\sqrt{-1}.\sqrt4.\sqrt5}2\Leftrightarrow m=\frac{-4\pm j.2.\sqrt5}2` `m=-2\pm j\sqrt5`
Sehingga `a=-2\\` dan `\beta=\sqrt5`
Dan akhirnya memberikan
`Y=e^{\alpha x}\left[A\cos\beta x+B\sin\beta x\right]`
`Y=e^{-2x}\left[A\cos\sqrt5x+B\sin\sqrt5x\right]`
Bagian II : (Sambungan 5 soal dari dosen)
Nomor 1
`y^'+y=e^x`
Penyelesaian:
`\frac{dy}{dx}+y=e^x`
`F=e\int\left(x\right)dx=e\sqrt{dx}=e^n`
`e^x\frac{dy}{dx}+e^xy=e^{2y}`
`\frac d{dx}e^xy=e^{2x}`
`\int de^xy=\int e^{2x}dx+\frac c2`
`e^xy=\frac{e^{2x}}2+\frac c2`
`2e^xy=e^{2x}+c`
Nomor 2
`x^2y^'+3xy=1`
Penyelesaian:
`x^2\frac{dy}{dx}+3xy=1`
`x^2\frac{dy}{dx}+3xy=0`
`\frac{dy}{dx}=-3\frac yx`
`\int\frac{dy}y=-3\int\frac1xdx`
`\ln\left(x\right)=-3\ln\left(cx\right)`
`y=\frac C{x^3}`
`y=\frac{C\left(x\right)}{x^3}`
`\frac{dy}{dx}=\frac{C^'\left(x\right)x^3-3x^2C\left(x\right)}{x^6}`
`x^2\frac{C^'\left(x\right)x^3-3x^2C\left(x\right)}{x^6}+3x\frac C{x^3}=1`
`C^'\left(x\right)=x`
`C\left(x\right)=\frac{x^2}2+C_1`
`y=\frac{\frac{x^2}2+C_1}{x^3}`
`y=\frac1{2x}+\frac{C_1}{x^3}`
`y=\frac1{\2}x^{-1}+Cx^{-3}`
Nomor 6
`y^'+y\cos x=\sin2x`
Penyelesaian:
`I=\int pdx`
`I=\int\cos xdx`
`I=\sin x+C`
Solusi:
`ye^I=\int qe^Idx+C`
`ye^{\sin x}=\int\sin2xe^{\sin x}+C`
`ye^{\sin x}=\int\sin2x.e^{\sin x}+C`
`y\sin x=\int\left(2\sin x\cos x\right)\sin xdx+C`
`y\sin x=2\int\sin^2x\cos xdx+C`
`y\sin x=2\int U^2\cos xd\frac u{\cos x}+C`
`y\sin x=2\left(\frac1{\3}U^3\right)+C`
`y\sin x=2\left(\frac1{\2}\sin x^3\right)+C`
`y=\frac1{\4}\sin x^3+C`
Nomor 15
`y''+y'-2y=e^{2x}`
Penyelesaian:
Solusi umum persamaan homogen:
`y''+y'-2y=0`
Dengan `\alpha=1` dan `b=-2` , memberikan kita `d=\alpha^2-4b=9`, maka `k=\frac1{\2}\sqrt d=\frac3{\2}` , jadi
`y=e^{-\frac{\alpha x}2}\left(C_1e^{kx}+C_2e^{-kx}\right)`
`y=e^{-\frac x2}\left(C_1e^{\frac3{\2}x}+C_2e^{-\frac3{\2}x}\right)`
`y=C_1e^x+C_2e^{-2x}`
Untuk mencari solusi umum dari `y''+y'-2y=e^{2x}` asumsikan `y_1=p\left(x\right)e^{2x}` adalah solusi, kemudian
`y_1^'=2p\left(x\right)e^{2x}+p^'\left(x\right)e^{2x}`
`y''_1=p''\left(x\right)e^{2x}+4p^'\left(x\right)e^{2x}+4p\left(x\right)e^{2x}`
Karena itu,
`p''\left(x\right)e^{2x}+4p^'\left(x\right)e^{2x}+4p\left(x\right)e^{2x}+2p\left(x\right)e^{2x}+p^'\left(x\right)e^{2x}-2p\left(x\right)e^{2x}=e^{2x}`
`4p\left(x\right)+5p^'\left(x\right)+p''\left(x\right)=1`
Maka `p\left(x\right)=\frac1{\4}` sebagai solusi untuk ini sehingga kita memiliki
`y_1=\frac1{\4}e^{2x}`
Oleh karena itu, solusi umum yang diberikan:
`y=C_1e^x+C_2e^{-2x}+\frac1{\4}e^{2x}`
Nomor 18
Persamaan diferensial dari persamaan rantai gantung pada ujungnya adalah
`y^{''2}+k^2\left(1+y^{'2}\right)`
Selesaikan persamaan tersebut untuk menemukan bentuk lengkungan rantai
Penyelesaian:
`y^{''2}+k^2\left(1+y^{'2}\right)`
`y^{''2}+k^2\left(1+y^{'2}\right)=0`
`y^{''2}+k^2+k^2y^{'2}=0`
`y^{''2}+k^2y^{'2}=-k^2`
`y^{''2}+y^{'2}=\frac{-k^2}{k^2}`
`y^{''2}+y^{'2}=-1`
`\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-1`
Cara untuk menggunakan penyelesaian umum Persamaan Diferensial homogen menggunakan akar karakteristik:
`\left(m^2\right)^2+\left(m\right)^2=0`
`m^4+m^2=0`
`m_{1.2}=\frac{b\pm\sqrt{\left(b\right)^2-4ac}}{2a}`
`m_{1.2}=\frac{1\pm\sqrt{\left(1\right)^2-4.1.0}}{2.1}`
`m_{1.2}=\frac{1\pm\sqrt{1-0}}2`
`m_{1.2}=\frac{1\pm\sqrt1}2`
`m_{1.2}=0.5\pm0.5i`
Sehingga `a=0.5` dan `b=0.5i`
Solusi umumnya:
`y=e^{ax}\left(c_1\sin b+c_2\cos b_x\right)`
`y=e^{0.5x}\left(c_1\sin0.5x+c_2\cos0.5x\right)`
Credit:
1. PERSAMAAN DIFERENSIAL.URL http://staffnew.uny.ac.id/upload/131808335/pendidikan/Persamaan+Diferensian+Orde+2.pdf
2. Persamaan diferensial 1. URL https://www.slideshare.net/MayaUmami/modul-persamaan-diferensial-1
3. Pd Linier. URL https://www.slideshare.net/achmadsukmawijaya/modul-1-pd-linier-orde-satu-26190792
Tanggal Post & Revisi:
24 November 2021 : Pembuatan Blog
26 November 2021 : Publikasi
24 Desember 2021 : Revisi
25 Desember 2021 : Revisi
31 Desember 2021 : Revisi
Komentar
Posting Komentar